Txmlhpj

ចតុកោណ

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ រូបមន្តននេះត្រូវបានរកឃើញដោយអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអាល្លឺម៉ង់​ឈ្មោះ Carl Anton Bretschneider (១៨០៨ - ១៨៧៨) ។

${\displaystyle S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)-<!--\; -\; -->abcd{\cos }^2<!--\; \; -->\frac{A+C}{2}}}$

ដែល

• a b c និង d ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ
• p ជាកន្លះបរិមាត្រ ដែល ${\displaystyle p=\frac{a+b+c+d}{2}}$
• A និង C ជាមុំពីរឈមគ្នា

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចតុកោណ ទាំងចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ និងមិនចារឹកក្នុងរង្វង់។

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ[កែប្រែ]

តាង S ជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ។ នោះគេបាន

ហេតុនេះ

${\displaystyle 4S^2=(ab{)}^2{\sin }^2<!--\; \; -->A+(cd{)}^2{\sin }^2<!--\; \; -->C+2abcd\sin <!--\; \; -->A\sin <!--\; \; -->C}$

តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

${\displaystyle a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->A=c^2+d^2-<!--\; -\; -->2cd\cos <!--\; \; -->C}$

ពីព្រោះជ្រុងទាំងពីរស្មើនឹងការ៉េនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង BD ។ គេអាចសរសេរឡើងវិញ

${\displaystyle \frac{1}{4}(c^2+d^2-<!--\; -\; -->a^2-<!--\; -\; -->b^2{)}^2=(ab{)}^2{\cos }^2<!--\; \; -->A+(cd{)}^2{\cos }^2<!--\; \; -->C-<!--\; -\; -->2abcd\cos <!--\; \; -->A\cos <!--\; \; -->C}$

ជំនួសវាក្នុងរូបមន្តខាងលើចំពោះ ${\displaystyle 4S^2}$

${\displaystyle 4S^2+\frac{1}{4}(c^2+d^2-<!--\; -\; -->a^2-<!--\; -\; -->b^2{)}^2=(ab{)}^2+(cd{)}^2-<!--\; -\; -->2abcd\cos <!--\; \; -->(A+C)}$

គេអាចសរសេរវាឡើងវិញ

${\displaystyle 16S^2=(c+d+a-<!--\; -\; -->b)(c+d+b-<!--\; -\; -->a)(c+a+b-<!--\; -\; -->d)(d+a+b-<!--\; -\; -->c)-<!--\; -\; -->16abcd{\cos }^2<!--\; \; -->\frac{A+C}{2}}$

តាង ${\displaystyle p=\frac{a+b+c+d}{2}}$ (កន្លះបរិមាត្រចតុកោណ)

សមីការខាងលើក្លាយជា

${\displaystyle 16S^2=16(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)-<!--\; -\; -->16abcd{\cos }^2<!--\; \; -->\frac{A+C}{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S=\sqrt{(p-<!--\; -\; -->a)(p-<!--\; -\; -->b)(p-<!--\; -\; -->c)(p-<!--\; -\; -->d)-<!--\; -\; -->abcd{\cos }^2<!--\; \; -->\frac{A+C}{2}}}$

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺចំពោះរង្វាស់ជ្រុងនិងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង[កែប្រែ]

ចតុកោណ ABCD មានរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m និង n

ករណីដែលគេស្គាល់រង្វស់ជ្រុង a, b, c, d និងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m, n នៃចតុកោណ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺកំនត់ដោយ

សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈវ៉ិចទ័រ

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ដែលមាន AC និង BD ជាអង្កត់ទ្រូងកំនត់ដោយ

ដោយ

${\displaystyle \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AB}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BC}}$

និង

គេបាន

${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{AC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{BD}{)}^2=\frac{1}{4}(a^2-<!--\; -\; -->b^2+c^2-<!--\; -\; -->d^2{)}^2(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)}$

ជំនួស (**) ចូលក្នុង (*) គេបាន

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{m^2{n}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}(a^2-<!--\; -\; -->b^2+c^2-<!--\; -\; -->d^2{)}^2}}$

${\displaystyle S=\frac{1}{4}\sqrt{4m^2{n}^2-<!--\; -\; -->(a^2-<!--\; -\; -->b^2+c^2-<!--\; -\; -->d^2{)}^2}}$

ដោយពន្លាតកន្សោម និង ផ្តុំតួឡើងវិញគេបានរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

រូបមន្តទាក់ទង[កែប្រែ]

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ដែលជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរ៉ុង ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។