Txmlhpj

A szupertér a kvantumtérelméletben a Minkowski-tér további kiterjesztése egy vagy több további dimenzióval, koordinátával. Az új koordináták azonban nem a megszokott valós számok köréből kerülnek ki, mint a négyestér esetén, hanem antikommutáló, ún. Grassmann-szám komponensű spinorok. Ezen a kiterjesztett téren értelmezzük a szuperszimmetriát. A legegyszerűbb szupertér ${\displaystyle (x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})}$, ahol x a Minkowski-tér, ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ és ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$ Grassmann-spinorok.

Grassmann-spinorok[szerkesztés]

A Grassmann-spinor egy kétkomponensű Dirac-spinor, ahol azonban a komponensek komplex számok helyett antikommutáló Grassmann-számok. A Minkowski-tér vagy négyestér kiterjesztése spinorváltozókkal megőrzi a Lorentz-csoporttal ill. az eltolásokat is belevéve a Poincaré-csoporttal szembeni szimmetriát. A Lorentz-csoport – ami ekvivalens egy SU(2)×SU(2) csoporttal – spinorjainak megfelelően kétféle Grassmann-spinor van, amit a "normál" és "konjugált" (helyesen adjungált) spinorok helyett ezek lineáris kombinációinak, a ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a}$ "balkezes" és a ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}}$ "jobbkezes" spinoroknak szokás választani. A négyesskalárok két pontozatlan vagy két pontozott spinor indexösszeejtésével ("konvolúciójával") képezhetjük. A szokásos rövidített jelölést is megadva:

${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2\equiv <!--\; \equiv \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^a{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}^2\equiv <!--\; \equiv \; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}^{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}}$

ahol számít, hogy az első vagy a második index van lent, mert egy csere a két komponens felcserélését jelenti, ami, mivel antikommutáló számokról van szó, előjelváltást jelent, azaz:

${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^a{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^a}$

Az index lehúzás és felhúzás a Levi-Civita-szimbólummal végezhető:

${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{ab}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^b,{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}^{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}}$

A négyesspinorok általános tulajdonságainak megfelelően a ${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}}$ szorzat úgy transzformálódik, mint egy Lorentz-vektor.

Szupereltolás[szerkesztés]

Az ${\displaystyle (x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})}$ szupertérben a szupertranszformációt a következőképpen vezethetjük be:

${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\to <!--\; \to \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}}$

${\displaystyle x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}\to <!--\; \to \; -->x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}+2i{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}-<!--\; -\; -->2i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}}$

Ez a négyestérbeli eltolásokat általánosítja a szupertérre.

Királis és antikirális szupertér[szerkesztés]

A szuperteret lehetséges úgy parametrizálni, hogy explicit módon ne tartalmazza ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$-t – ${\displaystyle (x_L,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$ királis szupertér – vagy ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$-t – ${\displaystyle (x_R,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})}$ antikirális szupertér, ahol:

${\displaystyle (x_L{)}_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}=x_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}-<!--\; -\; -->2i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}}}$

${\displaystyle (x_R{)}_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}=x_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}+2i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{a}}}}$

Ezekkel a definíciókkal a szupertranszformáció a megfelelő szupertéren belül marad, azaz:

${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$

${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\to <!--\; \to \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}}$

esetén:

${\displaystyle (x_L{)}_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}\to <!--\; \to \; -->x_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}-<!--\; -\; -->4i{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}}}$

${\displaystyle (x_R{)}_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}\to <!--\; \to \; -->x_{a\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}+4i{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_a\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{b}}}}$

További információk[szerkesztés]